微分拓扑是一个处理在微分流形上的可微函数的数学领域。很自然地，它是在研究微分方程理论的过程中被提出来的。微分几何是用微积分来研究几何的学问。这些领域非常接近，在物理学，特别在相对论方面有许多的应用。他们合在一起还建立了可从动力系统观点直接研究的、可微流形的几何理论。
微分几何：
古典微分几何起源于微积分，主要内容为曲线论和曲面论。欧拉，蒙日，高斯被公认为古典微分几何的奠基人。 近代微分几何的创始人是黎曼，他在1854年创立了黎曼几何(实际上黎曼提出的是Finsler几何)，这成为近代微分几何的主要内容，并在相对论有极为重要的作用。E.Cartan和陈省身等人曾在微分几何领域作出极为杰出的贡献。
从一开始到19世纪中叶, 微分几何是从外在观点来进行研究的: 曲线和曲面是被放在更高维欧几里德空间中来考虑的(譬如曲面被放在三维的背景空间中)。其中的最简单的成果就是曲线微分几何中的结果。内在观点开始于黎曼的工作，在那里因为几何对象被认为是Du-Li的给出的，所以不能说移到外面来考虑这个对象。内在的观点更加灵活，例如在相对论中时空不能很自然的用外在形式表示。但用内在的观点，曲率和联络这样的结构比较难定义一些，所以采用内在的观点也不是没有代价的。 这两种观点也是可以融通的，即外在几何可以被看作是附加于内在几何上的结构。微分几何的工具也就是流形上的微积分：包括对于流形，切丛，余切丛，微分形式，外微分，p-形式在p维子流形上的积分以及斯托克斯定理，楔积，和李导数的研究。这些都和多变量微积分相关；但对于几何上的应用来讲，必须发展一种在某种意义上和特定坐标系无关的方法。微分几何的特殊概念可以说是那些体现几何本质的二阶导数：曲率的很多表现方式。可微流形是一个拓扑空间，它有一个开覆盖，其中的每个开集同胚于Rn中的一个开单位球。并且，如果f,g是其中两个同胚映射，则函数无限可微。我们称一个函数无限可微，如果它和每个同胚的复合是从开球到R的无限可微函数。 在流形的每一点，有一个该点的切空间，它由每个从该点离开进行运动的所有可能的速度(方向和大小)所组成。对一个n维流形，每点的切空间是一个n维向量空间，或者说是一个Rn。切空间有多种定义。其中一个是作为所有在该点取值为0的函数组成的线性空间的对偶空间，除以所有取值为0 并且一阶导数为0的函数空间(所得到的余空间)。导数为0可以定义为“和任何可微的从实数到该流形的函数的复合的导数为0”，因而只需要用到可微性。向量场是从流形到它的切空间的并集(切丛)的函数，在每一点所取的值是该点的切空间的一个元素。这样的映射称为纤维丛的截面。向量场可微，如果该向量场应用到每个可微函数都得到一个可微函数。向量场可以看作是时不变的微分方程组。从实数到流形的可微函数是流形上的曲线。这给了一个从实数到切空间的函数:曲线上每点的速度。一条曲线称为一个向量场的一个解，如果曲线每点的速度和向量场在该点的值相等。 交错k维线性形式是向量空间V的对偶空间V*的反对称k阶向量积的一个元素。k微分形式就是在流形的每一点选取一个这样的交错k形式--V在这里就是该点的切空间。如果它作用在k个可微向量场上的结果是流形上的一个可微函数，则称它可微。体积形式是维数和流形相同的微分形式。
辛拓扑(Symplectic topology)，也叫辛几何,是微分几何的一个分支,它研究研究辛流形；也就是，带有闭非退化2-形式的微分流形。辛拓扑源于经典力学的哈密尔顿表述，其中特定经典系统的相空间有辛流形的结构。 辛拓扑和研究有非退化对称2阶张量(称为度量张量)的流形的黎曼几何有一些相似和不同之处。不象黎曼的情况，辛流形没有像曲率那样的局部不变量。这是达布定理(Darboux's theorem)的一个结果，表明每一对辛流形是局部同构的。另一个和黎曼几何的区别是不是所有的微分流形可以接受一个辛形式；有一些特定的拓扑限制。首先，流形必须是偶数维的。辛拓扑的很多工作就是以研究哪些流形可以有辛结构为中心的。 每个Kähler流形也是一个辛流形。直到1970年代，辛专家们还不确信是否有任何紧非Kähler辛流形存在，但从那以后又很多例子被构造出来(第一个由William Thurston给出);特别的，Robert Gompf证明每个有限表示群都可以作为辛4维流形的基本群出现，这和Kähler的情形完全不同。可以说大部分辛流形都是非Kähler的;所以没有和辛形式相容的可积复结构。但是Mikhail Gromov给出了一个重要的发现，就是辛流形可以接受很多相容的几乎复结构，所以它们满足复流形的所有假设，"除了"坐标变换函数必须是全纯的这一条。 以几乎复结构相容的映射到辛流形的黎曼曲面称为伪全纯曲线，Gromov证明了该类曲线的紧致性定理；这个结构导致了辛拓扑一个很大的子学科的发展。从Gromov的理论产生的结果包括关于球到柱的辛嵌入的Gromov的非压榨定理，和关于哈密尔顿流的不动点的个数的Vladimir Arnol'd的一个猜想的证明。这是由从Andreas Floer开始的几个研究者(逐步推广到更一般的情形)所证明的,Floer用Gromov的方法引入了现在称为Floer同调的概念。 伪全纯曲线也是辛不变量的一个来源，这种不变量称为Gromov-Witten不变量,原则上可以用来区分两个不同的辛流形。 谢谢，我正在学习地理信息系统，其中就有根topology很多相关内容，谢谢你了 $学习了$ $学习了$ 我这个学期就在上top，它是在分析的基础上对连续形变（不断裂不粘在一起的变换）保持不变性质的研究，当然具体涉及的就多了，简单的metrisher Raum就是一个top.Raum 的简单模型
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