宅男娶媳妇和时空曲率

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想娶奶茶 发表于 2009-11-01 11:11
http://songshuhui.net/archives/22001.html


曾经有一则报道说，到了2025年，中国将出现3700万光棍。还有一则笑话说，自然情况下生男生女的比例大约是106：100，于是“我”很担心自己不幸成为那个“6”，便刻苦学习，终于考上了某道口职业技术学院。考上以后发现该学院男女比例为7：1，不幸的“我”还是成为了那个“6”。这绝不是危言耸听，这是摆在每一个宅男面前的严重危机！作为一名资深宅男，我曾经茶饭无味，夜不能寐，在绝望之中翻开了霍金的《时空的大尺度结构》…你还别说，还真获得了一些关于宅男娶媳妇和时空曲率之间的启示。


坐标系、度规、曲率和Minkowski时空

4维的常曲率时空分为3种：Minkowski（闵可夫斯基）时空、de Sitter（德西特）时空和anti-de Sitter（反德西特）时空。它们都是爱因斯坦引力场方程的真空解，分别对应零曲率、正曲率和负曲率的时空。

在这里我需要解释一下这些拗口的名词。为了描述时空的性质，首先我们要先建立起一套坐标系，时空当中的每一点都对应一个坐标。为了计算坐标和坐标之间的距离，我们还得建立起一套对应的距离计算法则，这就是度规。打个比方，我们说某沿海城市往东3公里，往南4公里的海面上形成了一个台风，那么我们会很容易的利用勾股定理计算出台风和城市之间相距5公里。假如我们不使用平面直角坐标系，而是用经纬坐标系的话，就不能再直接用勾股定理计算距离了。比如我们说台风在城市往东3度，往南4度的海面上，就不能再说台风到城市还有5度的距离了。在我们试图描述同一个时空对象的时候，可以根据需要采用不同的坐标系，同时也就意味着采用了不同的度规。在广义相对论中，时空的绝大部分性质并不明显的依赖于坐标系，而是包含在这默默无闻的度规之中，就好像无论你给货币取的名字是欧元还是美元，关键要看汇率是多少。时空的曲率（全称是Ricci曲率）是一个用来描述该时空某部分弯曲程度的数。要想得到这个数的话，人们需要将对应的度规代入一个能将人折磨得死去活来的复杂算式。如果时空的每个区域的弯曲程度都一样，我们就说它是常曲率时空。著名的爱因斯坦的引力场方程，实际上就是一个关于时空度规和物质分布的偏微分方程组，也就是说时空的弯曲是由度规的改变体现出来的。用那句名言来概括就是：“物质告诉时空怎样弯曲【1】，度规描述时空如何弯曲。”我们今天要比较的这3种时空，其实已经让方程中的物质项等于零，所以说是真空解。爱因斯坦方程中除了时空曲率项，物质项之外，还有一个大名鼎鼎的宇宙学常数项，于是那句名言在这里就变成“宇宙学常数告诉时空怎样弯曲。”（请参考《宇宙学中你需要知道的五件事情》）



物质告诉空间怎样弯曲。实际上时空一起弯曲了，只是本图无法画出来。

如果宇宙学常数为0，曲率也为0，我们得到的就是最熟悉的Minkowski时空，它是爱因斯坦的数学老师闵可夫斯基将欧几里得空间再加上1维的时间所构造出的平坦时空。考虑到地球的引力场很微弱，而且暗物质和暗能量在如此小的尺度上产生的引力场更加微不足道，因此我们可以将自己所生活的时空区域近似的看做是Minkowski时空。如果说理论物理学的众多模型是物理学家的小白鼠的话，那么Minkowski时空就是关了许多小白鼠的最常用的实验室。我们所耳熟能详的相对论性的物理学，小到夸克，大到黑洞，绝大部分都是养在Minkowski时空背景中的小白鼠。

坐标决定缘分的de Sitter时空

如果宇宙学常数和曲率大于0，那我们就得到了de Sitter时空。它是由荷兰物理学家德西特（Willem de Sitter）最先提出的。De Sitter时空的空间部分可以看做一个三维球。这个球有两个北极，两个南极。站在这个球上，朝着左右，前后，上下任意一个方向走，最后都会走回原来出发的地方。（地球的表面是一个二维球，只能朝着左右前后走。）在弯曲的de Sitter时空之中，相对静止的物体之间的距离也会不断发生变化。因此这个三维球的体积，在无穷久以前是无穷大的，然后减速收缩，最后停止收缩，然后又开始加速膨胀。如果生活在由上述度规所描述de Sitter时空的话，我们会发现如果人们宅在家里不动，会变得越来越近，刚刚想打个招呼又变得越来越远，最后谁也看不见谁。



这张图的显示de Sitter时空的空间部分的尺度是如何随着时间变化的。
图中的每一点都表示一个二维的球面，也就是说每一个圆环都表示某一时刻对应的三维球。

于是de Sitter时空的因果性就比较奇怪。两个人能否认识不是看缘分，而是看这两个人坐在哪儿。在Minkowski时空中，只要两个人老不死，总有办法联系上，从而互相认识。在de Sitter时空中就很难说了。如果宅男住在其中一个北极，适合宅男的mm住在其中一个南极，那么他们俩永远也联系不上。度规告诉我们，在de Sitter时空当中，两点之间的空间距离是随着三维球的收缩膨胀而变化的。假设在无数年之前，住在北极的宅男想给南极mm打个电话，拨号之后电信号开始以光速传播。由于三维球刚开始是无穷大的，信号是很难跑到南极的。幸好这时候空间在减速收缩，结果在t=0的时刻，信号刚好跑到赤道。但是这时候三维球又开始膨胀，结果信号越追越困难，永远也跑不到南极了。如果宅男比较闷骚，纠结了很久终于在t=0的时候决定给南极mm打电话，那么经过无穷长的时间，信号却连赤道都到不了。所以在de Sitter时空中娶媳妇是一件很困难的事情。一定要主动，千万不能闷骚，否则有些人你永远都不会认识，有些事情你永远都不会知道，这叫做event horizon（事件视界）。

由于de Sitter时空中大家一开始就相距无穷远，所以你的眼中一开始是一片漆黑，过一段时间你才能看到你的键盘，你的显示器，然后是更远处的窗外。这种现象叫做particle horizon（粒子视界）。对Minkowski时空当中的宅男而言，这两个视界并不存在。这就表明de Sitter时空和Minkowski时空的因果性的不同。

虽然de Sitter时空当中养的小白鼠不多，但都是浓缩的都是精华。比如在宇宙的暴胀理论当中，早期受真空能驱动而加速膨胀的宇宙正是de Sitter时空的一部分；而现如今的宇宙又处于宇宙学常数主导的时期，有物理学理论指出，我们宇宙的未来也许是一个寒冷空寂的de Sitter时空。宅男们，还等什么呢？

Anti-de Sitter时空和AdS/CFT

如果时空的曲率和宇宙学常数小于零，我们就得到anti-de Sitter时空。这个anti就是说它专门跟de Sitter时空唱反调。你曲率是正的，我就是负的；你是闭合的，我是开放的；你一开始大家距离无穷远，我一开始大家全挤一块儿；你先收缩后膨胀，我先膨胀后收缩。这样的好处是再闷骚的宅男都有可能娶到媳妇，因为坐在家里吃了睡睡了吃，过一段时间之后大家自然就挤在一起了，互相也就全认识了。没有事件视界，也没有粒子视界，空间的尺度一会儿膨胀一会儿收缩，循环往复，宅男们娶媳妇娶的欢天喜地。物理学家也没闲着，在anti-de Sitter时空当中养着的众多小白鼠中，有一只叫做AdS/CFT的小白鼠脱颖而出，成为万众瞩目的焦点。这个小白鼠能够帮助物理学家解决弦论，共形量子场论，黑洞信息等一系列理论物理前沿课题的一些问题。著名物理学家费曼讲过一个笑话，说他打算出席一个有广义相对论学家参加的会议，下了飞机后发现弄丢了会议地址，但最后还是顺利抵达。原来费曼拉住一个出租车司机问：“刚才有没有一群举止怪异，嘴巴里不断喊着‘姬谬拗’的人？带我去他们去的地方。”这个“姬谬拗”正是度规的物理学符号的发音，而现如今，这群举止怪异的人嘴巴里仍然念念有词，只不过换成了更加拗口的“AdS/CFT”啦！





空间的曲率只是时空曲率的一部分，这组图片表现了三种不同曲率的空间。

[1].原话出自物理学家惠勒（John Wheeler）之口：“Matter tells space how to curve, and space tells matter how to move.”

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这深奥