询问关于泰勒级数

rinkle-! · 发表于 2003-7-2 18:05

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我在最近的数学Übung 中遇到关于求一点的泰勒级数不太清楚，请教各位！

原题是：
Für die Funktion f(x,y)=y4-3xy2+x3
bestimme man die Taylor-Reihe im Punkt (3/2,3/2)

谢谢

chinaren · 发表于 2003-7-2 18:25

你斯图的吧???

daxia108 · 发表于 2003-7-2 19:26

还是个向量点阿。个人认为点的ｘ和ｙ相同，似乎在式子里直接把ｙ当ｘ代换就好，这样就全是ｙ的函数，可以直接用公式展开，也只有４阶而已。或者用偏导数，分开来求对ｘ和对ｙ的式子。

小虾 · 发表于 2003-7-2 19:42

泰勒级数是将一个函数展开为多项式求和。关于某点的泰勒级数展开是，对该点邻域内的点，用多项式叠加求得邻域内点的函数值。邻域内点越靠近该点，阶数越高，误差越小。这样，可以用简单的多项式代替复杂的函数计算。
f(x,y)=y^4-3*x*y^2+x^3（我猜函数应该如此，请在写函数式的时候用尽可能规范的格式，以上的格式也是各数学软件可以识别的格式）
f(x,y)=f(3/2,3/2)+df/dx(3/2,3/2)*(x-3/2)+df/dy(3/2,3/2)*(y-3/2)+1/2*[d^2f/dx^2(3/2,3/2)*(x-3/2)^2 +2*d^2f/dxdy(3/2,3/2)*(x-3/2)*(y-3/2)+d^2f/dy^2(3/2,3/2)*(y-3/2)^2 ]+R
R为余量，以上为二阶泰勒展开式。
看起来比较费劲，写更费劲。

小虾 · 发表于 2003-7-2 19:43

最初由 daxia108 发布
[B]还是个向量点阿。个人认为点的ｘ和ｙ相同，似乎在式子里直接把ｙ当ｘ代换就好，这样就全是ｙ的函数，可以直接用公式展开，也只有４阶而已。或者用偏导数，分开来求对ｘ和对ｙ的式子[/B]

对多元函数的级数展开，用偏导数代替单元函数的导数。

Mephis · 发表于 2003-7-4 00:19

说了一大堆，还是没人说清楚。。。。。。。。。。。

rinkle-! · 发表于 2003-7-4 11:42

先谢过各位，我试着算了一下，用求偏导的方法展开，发现在第四阶展开时除了Y的四阶导数，其余全部为0，也就是说我只要按四阶展开泰勒公式就可以了。应该是这样吧？
另外，还有一个问题是关于泰勒公式中的余项的问题，在余项中会含有一个在(0-1)区间内的变量，如果要写出这个余项，那么这个变量依然直接代在里面，还是在0到1之间任选一个代入。在课上老师突然给出一个变量一个具体的数，我们都不知出处，於是猜想他是随便找了个数代入的

daxia108 · 发表于 2003-7-4 21:47

应该是这样了，４阶之后就没有余项，也就是完全展开式了。至于给余项一个具体的数应该不能随便给，但我们可以试着求它的极限。通常情况下，级数收敛（ｋｏｎｖｅｒｇｅｎｔ），越往后余项的值越趋向于零，可以通过收敛半径（１／ｐ）来判断

Mephis · 发表于 2003-7-5 15:26

不会吧，求极限？

netghost · 发表于 2003-7-23 19:14

余项用lagrange型的.
这样就很容易给出一个上界.
那个值当然不是随便代入的.
而且是一个定值.
我估计你没搞懂你们老师的意思,他应该是给出一个上界.

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